Question

現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體玩具，它的六個(gè)面上分別寫著1，1，2，2，3，3六個(gè)數(shù)字，
（1）ξ表示投擲3次上面玩具出現(xiàn)正面朝上的數(shù)字為1的次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)N（n，0），其中n∈N^*；動(dòng)點(diǎn)Q由原點(diǎn)O出發(fā)，按照投擲的數(shù)字沿x軸自左向右移動(dòng)相應(yīng)個(gè)單位長(zhǎng)度（如投出的數(shù)字為1就沿x軸向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，以此類推）
①當(dāng)n=5時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)Q恰好能移動(dòng)到N點(diǎn)的概率．
②若動(dòng)點(diǎn)Q恰好能移動(dòng)到N點(diǎn)的不同移動(dòng)方法種數(shù)記為a_n，求a₈，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用ξ服從二項(xiàng)分布，或確定ξ的所有取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）①記“動(dòng)點(diǎn)Q恰好能到達(dá)N點(diǎn)”為事件A，記“投擲i次，動(dòng)點(diǎn)Q恰好能到達(dá)N點(diǎn)”為事件B_i，i=2、3、4、5，顯然B₂、B₃、B₄、B₅兩兩互斥，利用互斥事件的概率公式，即可求得結(jié)論；
②方法一，利用排列知識(shí)，分別求出投擲2、3、4、5次時(shí)的情況總數(shù)，即可求得結(jié)論；
方法二，利用從第四項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于其前三項(xiàng)和，可得結(jié)論．
解答：解：（1）依題意得ξ服從二項(xiàng)分布，即：ξ～B ，所以Eξ=np=…（3分）
另解：依題意得ξ的所有取值為0、1、2、3

∴ξ的分布列為：

ξ		1	2	3
P

Eξ=…（3分）
（2）①記“動(dòng)點(diǎn)Q恰好能到達(dá)N點(diǎn)”為事件A，記“投擲i次，動(dòng)點(diǎn)Q恰好能到達(dá)N點(diǎn)”為事件B_i，i=2、3、4、5，顯然B₂、B₃、B₄、B₅兩兩互斥．
投擲2次時(shí)，分別投出2、3和3、2這兩種情況，所以
投擲3次時(shí)，分別投出1、1、3；1、3、1；3、1、1；2、2、1；2、1、2；1、2、2這6種情況，
所以
投擲4次時(shí)，分別投出1、1、1、2；1、1、2、1；1、2、1、1；2、1、1、1這4種情況，所以
投擲5次時(shí)，只有投出1、1、1、1、1這一種情況，所以∴
（2）②方法一：
投擲3次時(shí)，投出1個(gè)2、2個(gè)3、恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有3種，…（9分）
投擲4次時(shí)，投出2個(gè)1、2個(gè)3或1個(gè)3、2個(gè)2、1個(gè)1或4個(gè)2恰好都能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有
投擲5次時(shí)，投出1個(gè)3、1個(gè)2、3個(gè)1或3個(gè)2、2個(gè)1恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有
投擲6次時(shí)，投出1個(gè)3、5個(gè)1或2個(gè)2、4個(gè)1恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有
投擲7次時(shí)，投出1個(gè)2、6個(gè)1、恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有
投擲8次時(shí)，投出8個(gè)1恰好能到達(dá)N點(diǎn)，此時(shí)不同移動(dòng)方法種數(shù)有1種，
所以a₈=3+19+30+21+7+1=81…（14分）
②方法二：依題意得：a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=13，a₆=24，a₇=44，a₈=81…（14分）
注：從第四項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于其前三項(xiàng)和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)，考查分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．