Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$互相垂直，|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3．若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）⊥（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$），則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍[0，5]．

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，其中OA⊥OB，OA=4，OB=3，并連接CA，BC，AB，根據(jù)條件可得到CA⊥BC，從而得出點C在以AB為直徑的圓上，由圖形即可得出OC的最小、最大值，即得出$|\overrightarrow{c}|$的取值范圍．

解答 解：如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，連接CA，BC，AB，則：
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow=\overrightarrow{BC}$；
∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）⊥（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）$；
∴$\overrightarrow{CA}⊥\overrightarrow{BC}$；
∴點C在以AB為直徑的圓上；
∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，且$|\overrightarrow{a}|=4，|\overrightarrow|=3$，∴AB=5；
由圖形可看出$|\overrightarrow{c}|$的最小值為0，最大值為5；
∴$|\overrightarrow{c}|$的取值范圍為[0，5]．
故答案為：[0，5]．

點評 考查向量減法的幾何意義，圓的直徑所對的圓周角為直角，直角三角形邊的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．