Question

11．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠BAD=120°，若$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{λ+1}$$\overrightarrow{DC}$，其中0＜λ＜1，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值為$\sqrt{6}-2$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的幾何意義及相等向量的概念便可得出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{AB}）$，由$|\overrightarrow{AB}|=1，|\overrightarrow{AD}|=1，∠BAD=120°$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可以得到$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=\frac{3}{2（λ+1）}+（λ+1）-2$，而由基本不等式便可求出$\frac{3}{2（λ+1）}+（λ+1）$的最小值，從而便可得出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最小值．

解答 解：如圖，根據(jù)條件：
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}）$
=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{DC}）$
=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{AB}）$
=$（1+\frac{λ}{λ+1}）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{λ+1}{\overrightarrow{AB}}^{2}$$+λ{(lán)\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$-\frac{1}{2}（1+\frac{λ}{λ+1}）+\frac{1}{λ+1}+λ$
=$-1+\frac{3}{2（λ+1）}+λ$
=$\frac{3}{2（λ+1）}+（λ+1）-2$$≥2\sqrt{\frac{3}{2}}-2=\sqrt{6}-2$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{2（λ+1）}=λ+1$，即$λ=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$時(shí)取“=”；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最小值為$\sqrt{6}-2$．
故答案為：$\sqrt{6}-2$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的幾何意義，相等向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，分離常數(shù)法的運(yùn)用，基本不等式用于求最值，運(yùn)用基本不等式時(shí)需判斷等號(hào)能否取到．