Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+alnx（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若在區(qū)間[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f(x)=

1

x

+lnx的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）若在區(qū)間（0，e]上存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值小于0即可．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間[1，e]上的最小值，先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．

解答：解：（I）因為f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，（2分）
當a=1，f′(x)=

x-1

x2

，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以x=1時，f（x）的極小值為1．（5分）
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（6分）
（II）因為f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，且a≠0，
令f'（x）=0，得到x=

1

a

，
若在區(qū)間[1，e]上存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要條件是f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）
（1）當x=

1

a

＜0，
即a＜0時，f'（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
故f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a，
由

1

e

+a＜0，得a＜-

1

e

，即a∈(-∞，-

1

e

)（9分）
（2）當x=

1

a

＞0，即a＞0時，
①若e≤

1

a

，則f'（x）≤0對x∈[1，e]成立，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a＞0，
顯然，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）
②若1＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

時，則有

x	(1， 1 a )	1 a	( 1 a ，e)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f(

1

a

)=a+aln

1

a

，
由f(

1

a

)=a+aln

1

a

=a(1-lna)＜0，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．（13分）
綜上，由（1）（2）可知：a∈(-∞，-

1

e

)∪(e，+∞)符合題意．（14分）

點評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值以及在閉區(qū)間上的最值問題．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想，同時考查學(xué)生的計算能力．