Question

10．若函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{1+x}$-lnx在x=x₀處取得最大值，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． f（x₀）＜x₀
• B． f（x₀）=x₀
• C． f（x₀）＞x₀
• D． f（x₀）=-x₀

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性和極值，利用極值最值的關(guān)系確定f（x₀）的值，進(jìn)行判斷即可．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）lnx，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）′lnx-$\frac{x}{x+1}$•$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$lnx-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{-lnx-x-1}{（x+1）^{2}}$，
設(shè)h（x）=-lnx-x-1，
則h′（x）=-$\frac{1}{x}$-1=$\frac{-1-x}{x}$，則當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，即h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵h(yuǎn)（1）＜-1-1=-2＜0，當(dāng)x→0時(shí)，h（x）＞0，
∴在（0，1）內(nèi)函數(shù)h（x）有唯一的零點(diǎn)x₀，即h（x₀）=-lnx₀-x₀-1=0，
即lnx₀=-1-x₀，
當(dāng)0＜x＜x₀，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞x₀，f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在x=x₀處取得最大值，
即f（x₀）=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•lnx₀=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•（-1-x₀）=x₀，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷涉及函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．