Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為正常數(shù)）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=2a₁，，（n≥2，n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

證明：（1）∵S_n=（m+1）-ma_n…①
∴S_n+1=（m+1）-ma_n+1，…②
②-①得
a_n+1=-ma_n+1+ma_n，即（m+1）a_n+1=ma_n，
即
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
解：（2）∵n≥2，n∈N^*時，，
∴b_n•b_n-1=b_n-1•b_n
∴=1
又∵n=1時，S₁=a₁=（m+1）-ma₁，
∴a₁=1，b₁=2a₁=2，
∴數(shù)列{}是一個以為首項(xiàng)，以1為公式差的等差數(shù)列
∴=n-
∴b_n=
（3）∵=（2n-1）2ⁿ
∴T_n=1•2¹+3•2²+5•2³…+（2n-1）2ⁿ…①
2T_n=1•2²+3•2³…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹…②
②-①得：
T_n=-2-2（2²+2³…+2ⁿ）+（2n-1）2ⁿ⁺¹
=6+（2n-3）2ⁿ⁺¹
分析：（1）由已知求出S_n+1=（m+1）-ma_n+1，與S_n=（m+1）-ma_n相減整理后可得為定值，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列定義可得結(jié)論；
（2）由已知求出b₁，再由分離常數(shù)后構(gòu)造新數(shù)列{}，可得數(shù)列{}是一個以為首項(xiàng)，以1為公式差的等差數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，利用錯位相減法，可得數(shù)列{}的前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評：本題是數(shù)列問題比較經(jīng)典的考題，是高考試卷考查數(shù)列的常見題型，首先要根據(jù)定義法，迭代法、構(gòu)造數(shù)列法等求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)法，錯位相減法等求數(shù)列的前n項(xiàng)和．