Question

3．已知射線OP：y=$\frac{4}{3}$x（x≥0）和矩形ABCD，AB=16，AD=9，點(diǎn)A、B分別在射線OP和x軸非負(fù)半軸上，則線段OD長(zhǎng)度的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{337}$
• B． 27
• C． $\sqrt{689}$
• D． 29

Answer 1

分析 通過(guò)設(shè)∠OBA=θ，并用角θ的三角函數(shù)值表示點(diǎn)D坐標(biāo)，利用向量模的計(jì)算公式、結(jié)合三角函數(shù)有界性可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)∠OBA=θ，則∠CBx=$\frac{π}{2}$-θ，∠ABx=π-θ，如圖，
由題可知AE=16cosθ，AE=16sinθ，OE=$\frac{AE}{\frac{4}{3}}$=12sinθ，
BF=BCcos（$\frac{π}{2}$-θ）=9sinθ，CF=BCsin（$\frac{π}{2}$-θ）=9cosθ，
則A（12sinθ，16sinθ），B（16sinθ+16cosθ，0），C（25sinθ+16cosθ，9cosθ），
由四邊形ABCD是矩形可知D（21sinθ，16sinθ+9cosθ），
因?yàn)?|\overrightarrow{OD}{|}^{2}$=441sin²θ+256sin²θ+288sinθcosθ+81cos²θ
=81（sin²θ+cos²θ）+308•2sin²θ+144sin2θ
=81+308•（1-cos2θ）+144sin2θ
=389+144sin2θ-308cos2θ
=389-340sin（2θ-φ）
≤389+340=729，
所以$|\overrightarrow{OD}|$≤27，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)最值及其幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想，涉及平面向量、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于難題．