Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若f（0）=-1，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大、最小值；
（3）要使函數(shù)f（x）在[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，求b的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（1）=0和f（0）=-1，列出關(guān)于b和c的方程組，求解方程組，即可得到b和c的值，從而求得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中的解析式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求得f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)對稱軸在區(qū)間兩側(cè)的時候，函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，故可得到-

b

2

≤-1或-

b

2

≥3，求解即可求得b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0，f（0）=-1，
∴

f(1)=1+b+c=0 f(0)=c=-1

，解得

b=0 c=-1

，
∴f（x）=x²-1；
（2）由（1）可知，f（x）=x²-1，
∵f（x）的對稱軸為x=0，圖象開口向上，
∴函數(shù)f（x）=x²-1在[-1，0]上單調(diào)遞減，在（0，3]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時，f（x）取得最小值為f（0）=-1，
又f（-1）=0，f（3）=8，
∴當(dāng)x=3時，f（x）取得最大值為f（3）=8，
∴函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為8，最小值為0；
（3）∵f（x）=x²+bx+c，
∴該函數(shù)開口向上，對稱軸為x=-

b

2

，
∴函數(shù)在（-∞，-

b

2

）上單調(diào)遞減，在（-

b

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）在[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，
∴-

b

2

≤-1或-

b

2

≥3，解得b≤-6或b≥2，
∴b的取值范圍為b≤-6或b≥2．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．對于函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，常用來求解函數(shù)的最值問題．本題重點考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．