Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）求曲線y=f（x）在點x=2處的切線方程；
（2）若過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數(shù)f'（x）=3x²-3，欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=2處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先將過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線轉化為：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個不同實數(shù)根，記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的零點，從而求得m的范圍．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3，f'（2）=9，f（2）=2³-3×2=2（2分）
∴曲線y=f（x）在x=2處的切線方程為y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）過點A（1，m）向曲線y=f（x）作切線，設切點為（x₀，y₀）
則y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
則切線方程為y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）（6分）
將A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個不同實數(shù)根、（8分）
記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當x=0，g（x）有極大值m+3；x=1，g（x）有極小值m+2、（12分）
由題意有，當且僅當

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

m+3＞0 m+2＜0

，-3＜m＜-2時，
函數(shù)g（x）有三個不同零點、
此時過點A可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是（-3，-2）（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．