已知幾何體
的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
(Ⅰ)求此幾何體的體積；
(Ⅱ)求異面直線
與
所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在
上是否存在點Q，使得
，并說明理由．
試題分析：（Ⅰ）由該幾何體的三視圖可知
垂直于底面
，且
，
，
，
，
此幾何體的體積為
；
解法一：（Ⅱ）過點
作
交
于
，連接
，則
或其補角即為異面直線
與
所成角，在
中，
，
，
；即異面直線
與
所成角的余弦值為
.
（Ⅲ）在
上存在點Q，使得
；取
中點
，過點
作
于點
，則點
為所求點；
連接
、
，在
和
中，
，
∽
，
，
，
，
，
，
，
，
以
為圓心，
為直徑的圓與
相切，切點為
，連接
、
，可得
；
，
，
，
，
，
；
解法二：（Ⅰ）同上。
（Ⅱ）以
為原點，以
、
、
所在直線為
、
、
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，得
，
，
，又異面直線
與
所成角為銳角，可得異面直線
與
所成角的余弦值為
。
（Ⅲ）設(shè)存在滿足題設(shè)的點
，其坐標為
，
則
，
，
，
，
①；
點
在
上，
存在
使得
，
即
，化簡得
，
②，
②代入①得
，得
，
；
滿足題設(shè)的點
存在，其坐標為
.
點評：本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系，幾何體的體積的求法，判斷三視圖復原的幾何體的
形狀是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．
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SO中，底面半徑
r＝1，母線長
l＝4，
M為母線
SA上的一個點，且
SM＝
x，從點
M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點
A，求：
(1)設(shè)
f(
x)為繩子最短長度的平方，求
f(
x)表達式；
(2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離；
(3)
f(
x)的最大值．
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_
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