Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，0）時，（t為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)t∈[2，6]時，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值時的x，并猜想f（x）在[0，2]上的單調(diào)遞增區(qū)間（不必證明）；
（3）當(dāng)t≥9時，證明：函數(shù)y=f（x）的圖象上至少有一個點(diǎn)落在直線y=14上．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)x∈（0，2]⇒-x∈[-2，0）⇒，由f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x），代入可求f（x）x∈（0，2]；
由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（0）=0，從而可得f（x） x∈[-2，2]
（2）由知＜0，x∈[-2，0]，t∈[2，6]
利用平均值不等式可得，（當(dāng)時取等號）
（3）利用單調(diào)性的定義（或?qū)��?shù)法）判斷函數(shù)在[-2，2]上單調(diào)性，從而確定函數(shù)的值域，然后證明14在值域內(nèi)即可
解答：解：（1）x∈（0，2]時，-x∈[-2，0），則，
∵函數(shù)f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x），
∴，即，又可知f（0）=0，
∴函數(shù)f（x）的解析式為，x∈[-2，2]；
（2），∵t∈[2，6]，x∈[-2，0]，∴，f（x）＜0
∵，∴，
即時，．
猜想f（x）在[0，2]上的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（3）t≥9時，任取-2≤x₁＜x₂≤2，
∵，
∴f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，即f（x）∈[f（-2），f（2）]，
即f（x）∈[4-2t，2t-4]，t≥9，∴4-2t≤-14，2t-4≥14，
∴14∈[4-2t，2t-4]，∴當(dāng)t≥9時，函數(shù)y=f（x）的圖象上至少有一個點(diǎn)落在直線y=14上．
點(diǎn)評：本題綜合考查函數(shù)的解析式的求解、利用均值不等式求函數(shù)的最值、及利用定義或?qū)��?shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，在利用均值不等式求最值時，要注意驗(yàn)證各項(xiàng)的符號及等號成立的條件．