Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x=1時(shí)有極值，②圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，且在該點(diǎn)處的切線與直線x=2y-4垂直
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（xlnx），x∈[1，2]的值域；
（Ⅲ）若曲線y=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點(diǎn)處的切線的斜率恒大于a³-a-2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的值域,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)出函數(shù)的解析式，利用已知條件求出系數(shù)，得到解析式然后求f（1）的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）=f（xlnx）的解析式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在x∈[1，2]的單調(diào)性，然后求解值域；
（Ⅲ）求出曲線y=f（lnx），x∈（1，+∞）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)恒大于a³-a-2，求出最值然后求解a的取值范圍．

解答： 解：（I）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）f（o）=-3，∴c=-3，
∴f'（x）=2ax+b∴在x=1處有極值．
∴f'（1）=0，即2a+b=0
∵在點(diǎn)（0，-3）處的切線與直線x=2y-4垂直，
∴f'（0）=-2，即b=-2
故a=1
∴f（x）=x²-2x-3，
f（1）=-4
（II）∵f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴g（x）=（xlnx-1）²-4
令t=xlnx，∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，t'=1+lnx≥1＞0，
∴t=xlnx在x∈[1，2]上單調(diào)遞增
∴0≤t≤2ln2∴當(dāng)t=1時(shí)[g（x）]_min=-4，
當(dāng)t=0時(shí)[g（x）]_max=-3，
∴g（x）的值域?yàn)閇-4，-3]
（Ⅲ）f（lnx）=（lnx）²-2lnx-3，
令t=lnx∵x∈（1，+∞）∴t＞0
∴f（t）=t²-2t-3
∴f'（t）=2t-2，
∴t＞0，∴f'（t）＞-2，
由題意得a³-a-2＜f'（t）恒成立，∴a³-a-2≤-2
∴a（a+1）（a-1）≤0，
∴a的取值范圍為a≤-1或0＜a≤1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的切線方程以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的內(nèi)，同時(shí)考查這思想．