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16.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<\frac{π}{2})的圖象上的一個最高點坐標為(\frac{5π}{12},2),直線x=x1和x=x2是函數(shù)f(x)圖象的任意兩條對稱軸,且|x1-x2|的最小值為\frac{π}{2}
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當-\frac{π}{6}≤x≤\frac{7π}{6}時,求函數(shù)g(x)=f(x)-1的零點;
(3)設A={x|\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}},B={x||f(x)-m|<1},若A⊆B,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)條件結合三角函數(shù)的性質求出A,ω和φ的值即可得到結論.
(2)由g(x)=0,結合三角函數(shù)的解析式進行求解即可,
(3)根據(jù)集合關系轉化為不等式恒成立進行求解.

解答 解:(1)∵|x1-x2|的最小值為\frac{π}{2}
\frac{T}{2}=\frac{π}{2},即T=π=\frac{2π}{ω},則ω=2,
則f(x)=Asin(2x+φ),
∵圖象上的一個最高點坐標為(\frac{5π}{12},2),
∴A=2,且2×\frac{5π}{12}+φ=\frac{π}{2}+2kπ,
則φ=-\frac{π}{3}+2kπ,
∵|φ|<\frac{π}{2},∴當k=0時,φ=-\frac{π}{3},
即f(x)=2sin(2x-\frac{π}{3}).
(2)由g(x)=f(x)-1=0得f(x)=1,
即f(x)=2sin(2x-\frac{π}{3})=1,
則sin(2x-\frac{π}{3})=\frac{1}{2}
∵-\frac{π}{6}≤x≤\frac{7π}{6},∴-\frac{2π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤2π,
則2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}或2x-\frac{π}{3}=\frac{5π}{6},
即x=\frac{π}{4}或x=\frac{7π}{12},
故函數(shù)g(x)=f(x)-1的零點是x=\frac{π}{4}或x=\frac{7π}{12},
(3)設A={x|\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}},B={x||f(x)-m|<1},若A⊆B,求實數(shù)m的取值范圍.
由|f(x)-m|<1得:-1<f(x)-m<1,即f(x)-1<m<f(x)+1,
∵A⊆B,∴當\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}時,f(x)-1<x<f(x)+1恒成立.
∴[f(x)-1]max<m<[f(x)+1]min
\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}時,\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}\frac{2π}{3},
∴當2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}時,f(x)max=2,
當2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}時,f(x)min=2sin\frac{π}{6}=2×\frac{1}{2}=1,
則1<m<2
∴m∈(1,2)

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解,以及三角函數(shù)函數(shù)的圖象和性質,綜合性較強,運算量較大.

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