Question

在平面直角坐標系中,已知向量a=(-1,2),又點A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤).
(1)若⊥a,且||=||(O為坐標原點),求向量.
(2)若向量與向量a共線,當k>4,且tsinθ取最大值4時,求·.

Answer 1

(1) =(24,8)或=(-8,-8)   (2) 32

(1)可得=(n-8,t),
∵⊥a,∴·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,
得n=2t+8,則=(2t,t).
又||=||,||=8.
∴(2t)²+t²=5×64,解得t=±8,
當t=8時,n=24;當t=-8時,n=-8.
∴=(24,8)或=(-8,-8).
(2)∵向量與向量a共線,
∴t=-2ksinθ+16,
tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ
=-2k(sinθ-)²+.
∵k>4,∴0<<1,故當sinθ=時,tsinθ取最大值,有=4,得k=8.
這時,sinθ=,k=8,tsinθ=4,得t=8,
則=(4,8),
∴·=(8,0)·(4,8)=32.