Question

8．已知拋物線${y^2}=\frac{2}{3}x$的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（1）若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，求直線AB的斜率；
（2）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線$AB：x=my+\frac{1}{6}$，將直線AB與拋物線聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理業(yè)績(jī)向量關(guān)系，求解直線的斜率即可．
（2）利用三角形的面積公式以及弦長(zhǎng)公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最小值即可．

解答 （12分）解：（1）依題意可設(shè)直線$AB：x=my+\frac{1}{6}$，
將直線AB與拋物線聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=my+\frac{1}{6}\\{y^2}=\frac{2}{3}x\end{array}\right.$⇒9y²-6my-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=\frac{2}{3}m\\{y_1}{y_2}=-\frac{1}{9}\end{array}\right.$
∵$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}⇒{y_1}=-3{y_2}$，$⇒{m^2}=\frac{1}{3}$，
∴斜率為$\sqrt{3}$或$-\sqrt{3}$．-------（6分）
（2）${S_{OACB}}=2{S_{△AOB}}=2•\frac{1}{2}|{OF}||{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{6}×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{6}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{4}{9}{m^2}+\frac{4}{9}}≥\frac{1}{6}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$
當(dāng)m=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值為$\frac{1}{9}$．-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，設(shè)而不求以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．