Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦點F（-

2

，0）作兩條互相垂直的直線與橢圓分別相交于A、C及B、D，當直線AC與x軸垂直時，四邊形ABCD的面積為4．
（Ⅰ）求橢圓標準方程；
（Ⅱ）求

|AC|2|BD|2

|AC|+|BD|

的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出AC與x軸垂直時的弦長，求出四邊形的面積，解得b，再由a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）由于直線AC，BD均過左焦點，則以左焦點為極點，x軸為極軸，建立極坐標系，則有ρ=

ep

1-ecosθ

，求出弦長AC，BD，|AC|+|BD|，運用誘導公式和同角公式及二倍角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）令x=-c，則

c2

a2

+

y2

b2

=1，
則y=±

b2

a

，則AC=

2b2

a

，
當直線AC與x軸垂直時，四邊形ABCD的面積為4，
則

1

2

•

2b2

a

•2a=4，解得，b²=2，
又c=

2

，則a=

b2+c2

=2，
則橢圓標準方程為：

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）由于直線AC，BD均過左焦點，則以左焦點為極點，x軸為極軸，建立極坐標系，
則有ρ=

ep

1-ecosθ

=

c a •( a2 c -c)

1- c a cosθ

=

2 2 •(2 2 - 2 )

1- 2 2 cosθ

=

1

1- 2 2 cosθ

，
則|AC|=

1

1- 2 2 cosθ

+

1

1- 2 2 cos(π+θ)

=

2

(1- 2 2 cosθ)(1+ 2 2 cosθ)

=

2

1- 1 2 cos2θ

，
則有|BD|=

2

1- 1 2 cos2(90°+θ)

=

2

1- 1 2 sin2θ

，
即有|AC|+|BD|=

2

1- 1 2 cos2θ

+

2

1- 1 2 sin2θ

=

3

(1- 1 2 cos2θ)(1- 1 2 sin2θ)

，
則

|AC|2|BD|2

|AC|+|BD|

=

16

3

•

1

(1- 1 2 sin2θ)(1- 1 2 cos2θ)

，
由于（1-

1

2

sin²θ）（1-

1

2

cos²θ）=1-

1

2

（sin²θ+cos²θ）+

1

4

sin²θcos²θ
=

1

2

+

1

16

（sin2θ）²，
當sin2θ=±1時，上式取得最大值，且為

1

2

+

1

16

=

9

16

．
則有

|AC|2|BD|2

|AC|+|BD|

的最小值為

16

3

×

16

9

=

256

27

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓的極坐標方程和運用：求弦長，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查運算能力，屬于中檔題．