Question

6．（Ⅰ）若復(fù)數(shù)z=（m-1）+（m+1）i（m∈R），
①若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z在第二象限內(nèi)，求m的取值范圍．
②若z為純虛數(shù)時(shí)，求$\frac{1-z}{1+z}$．
（Ⅱ）已知復(fù)數(shù)Z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$，Z²+aZ+b=1+i，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （I）①利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得：$\left\{{\begin{array}{l}{m-1＜0}\\{m+1＞0}\end{array}}\right.$，解出即可得出；②利用純虛數(shù)的定義可得m，代入計(jì)算即可得出；
（II）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

解答 解：（Ⅰ）①Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（m-1，m+1）在第二象限內(nèi)，則$\left\{{\begin{array}{l}{m-1＜0}\\{m+1＞0}\end{array}}\right.$，
∴-1＜m＜1．
②z為純虛數(shù)時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{m+1≠0}\end{array}\right.$，解得m=1．
∴z=2i，
∴$\frac{1-z}{1+z}$=$\frac{1-2i}{1+2i}$=$\frac{（1-2i）^{2}}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{-3-4i}{5}$=-$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}$i．
（II）復(fù)數(shù)Z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$=$\frac{7+i}{3+4i}$=$\frac{（7+i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-25i}{25}$=1-i，
∴Z²+aZ+b=1+i解得，a+b-（a+2）i=1+i，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a+2=-1\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=4\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．