Question

12．函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x∈R恒有f（x）＜f（x+1），那么（　�。�

• A． f（x）是R上的增函數(shù)
• B． f（x）可能不存在單調(diào)的增區(qū)間
• C． f（x）不可能有單調(diào)減區(qū)間
• D． f（x）一定有單調(diào)增區(qū)間

Answer 1

分析 可舉例子，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}&{x≤0.5}\\{x-0.4}&{x＞0.5}\end{array}\right.$，從而可以說明選項(xiàng)A，錯(cuò)誤，同樣可舉例子說明B正確，C，D錯(cuò)誤．

解答 解：A．比如$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}&{x≤0.5}\\{x-0.4}&{x＞0.5}\end{array}\right.$，滿足f（x）＜f（x+1）；但f（x）在R上沒有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．比如$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{…}&{…}\\{0}&{0＜x≤0.5}\\{1}&{0.5＜x≤1}\\{2}&{1＜x≤1.5}\\{…}&{…}\end{array}\right.$，該函數(shù)不存在單調(diào)增區(qū)間；∴該選項(xiàng)正確；
C．比如$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}&{x≤0.5}\\{\frac{1}{x}+1}&{0.5＜x≤1}\\{2x+1}&{x＞1}\end{array}\right.$，f（x）存在單調(diào)減區(qū)間；∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．看選項(xiàng)B的例子中，f（x）不存在單調(diào)增區(qū)間；∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查舉反例從而說明一個(gè)說法錯(cuò)誤的方法，同樣可用一個(gè)例子可說明一個(gè)說法正確，以及一次函數(shù)的單調(diào)性，反比例函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及單調(diào)性的定義．