Question

5．某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時運(yùn)動，內(nèi)、外環(huán)線的長度均為35千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異）．
（1）當(dāng)14列列車同時在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時，要使內(nèi)環(huán)線乘客候車時間不超過6分鐘，求內(nèi)環(huán)境列車的最小平均速度為多少千米/小時？
（2）新調(diào)整的運(yùn)行方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為30千米/小時，外環(huán)線列車平均速度為35千米/小時．現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有28列列車全部投入運(yùn)行，要使內(nèi)、外環(huán)線乘客候車時間之差的絕對值不超過0.5分鐘，試問：內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)投入幾列列車運(yùn)行？

Answer 1

分析 （1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時，則要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，可得$\frac{35}{14v}×60≤6$，從而可求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；
（2）內(nèi)環(huán)線投入x列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（28-x）列列車運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為t₁，t₂分鐘，t₁=$\frac{35}{30x}×60=\frac{70}{x}$，t₂=$\frac{35}{35（28-x）}×60=\frac{60}{28-x}$，|t₁-t₂|=|$\frac{70}{x}-\frac{60}{28-x}$|≤0.5，解不等式，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時，則要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，可得$\frac{35}{14v}×60≤6$，∴v≥25
∴要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度是25千米/小時；
（2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（28-x）列列車運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為t₁，t₂分鐘，
t₁=$\frac{35}{30x}×60=\frac{70}{x}$，t₂=$\frac{35}{35（28-x）}×60=\frac{60}{28-x}$
∴|t₁-t₂|=|$\frac{70}{x}-\frac{60}{28-x}$|≤0.5，⇒x²+232x-3920≤0且x²-288x+3920≤0，∴$\frac{288-\sqrt{67264}}{2}≤x≤\frac{-232+\sqrt{69504}}{2}$
∵x∈N₊，∴x=15
∴當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入15列列車運(yùn)行，外環(huán)線投入13列列車時，內(nèi)外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過0.5分鐘．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是正確求出乘客最長候車時間．屬于中檔題．