【答案】
分析:建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)向量
(I)要證:DE∥平面ABC,只需證明向量DE與平面ABC的法向量數(shù)量積=0即可;
(II)要證:B
1F⊥平面AEF,只需證明
=0,
=0即可;
(III)求二面角B
1-AE-F的余弦值,只需求出平面B
1AE的法向量為
,
平面AEF的法向量為
,利用數(shù)量積確定二面角的余弦值.
也可以用幾何法證明:
(I)要證DE∥平面ABC,只需證明DE平行平面ABC內(nèi)的直線(xiàn)DG(設(shè)G是AB的中點(diǎn),連接DG,);
(II)求證B
1F⊥平面AEF,只需證明B
1F垂直平面AEF內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)AF、EF即可;
(III)過(guò)F做FM⊥AE于點(diǎn)M,連接B
1M,說(shuō)明∠B
1MF為二面角B
1-AE-F的平面角,然后求二面角B
1-AE-F的余弦值.
解答:解:方法1:如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,令A(yù)B=AA
1=4,
則A(0,0,0),E(0,4,2),F(xiàn)(2,2,0),B(4,0,0),
B
1(4,0,4),D(2,0,2),(2分)
(I)
=(-2,4,0),面ABC的法向量為
=(0,0,4),
∵
,DE?平面ABC,
∴DE∥平面ABC.(4分)
(II)
,
=0
=0(6分)
∴
,∴B
1F⊥AF
∵AF∩FE=F,∴B
1F⊥平面AEF(8分)
(III)平面AEF的法向量為
,設(shè)平面B
1AE的法向量為
,
∴
,即
(10分)
令x=2,則Z=-2,y=1,∴
∴
=
∴二面角B
1-AE-F的余弦值為
(12分)
方法2:(I)方法i:設(shè)G是AB的中點(diǎn),連接DG,
則DG平行且等于EC,(2分)
所以四邊形DECG是平行四邊形,所以DE∥GC,
從而DE∥平面ABC.(4分)
方法ii:連接A
1B、A
1E,并延長(zhǎng)A
1E交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)
于點(diǎn)P,連接BP.由E為C
1C的中點(diǎn),A
1C
1∥CP,
可證A
1E=EP,(2分)
∵D、E是A
1B、A
1P的中點(diǎn),∴DE∥BP,
又∵BP?平面ABC,DE?平面ABC,∴DE∥平面ABC(4分)
(II)∵△ABC為等腰直角三角形,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),
∴BC⊥AF,又∵B
1B⊥平面ABC,可證B
1F⊥AF,(6分)
設(shè)AB=AA
1=2,則
∴B
1F⊥EF,∴B
1F⊥平面AEF;(8分)
(III)過(guò)F做FM⊥AE于點(diǎn)M,連接B
1M,
∵B
1F⊥平面AEF,由三垂線(xiàn)定理可證B
1M⊥AE,
∴∠B
1MF為二面角B
1-AE-F的平面角,
C
1C⊥平面ABC,AF⊥FC,可證EF⊥AF,
在Rt△AEF中,可求
,(10分)
在Rt△B
1FM中,∠B
1FM=90°,∴
∴二面角B
1-AE-F的余弦值為
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定,二面角的求法,直線(xiàn)與平面的垂直的判定,考查邏輯思維能力 空間想象能力,是中檔題.