如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC;M.N.P分別是棱BC.CC1.B1C1的中點(diǎn).A1Q=3QA, BC=
2
AA1

(Ⅰ)求證:PQ∥平面ANB1;
(Ⅱ)求證:平面AMN⊥平面AMB1
分析:(Ⅰ)取B1N中點(diǎn)S連PS,證明PQ∥AS,通過PQ?平面ANB1,AS?平面ANB1,說明PQ∥平面ANB1
(Ⅱ)證明AM⊥BC,AM⊥MN,在直角△CMN和△BMB1中,證明MN⊥MB1,MN⊥平面AMB1即可證明平面AMN⊥平面AMB1
解答:(本小題滿分12分)
證明:(Ⅰ)取B1N中點(diǎn)S連PS則PS∥CC1,QA∥CC1∴PS∥QA,
且PS=
1
4
CC1=QA∴PSAQ為
平行四邊形,…(3分)
∴PQ∥AS,又PQ?平面ANB1,AS?平面ANB1,
∴PQ∥平面ANB1…(6分)
(Ⅱ)∵AB=AC,M是棱BC的中點(diǎn),
∴AM⊥BC
又三棱柱為直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,CC1⊥AM
∴AM⊥平面CBB1C1,AM⊥MN…(9分)
在直角△CMN和△BMB1中,
CM
NC
=
BC
BB1
=
2
,
BB1
BM
=
BB1
1
2
BC
=
2
   
 直角△CMN∽直角△BB1M
∴MN⊥MB1
又AM∩MB1=M,∴MN⊥平面AMB1;
∴平面AMN⊥平面AMB1.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查直線與平面平行的判定定理,平面與平面垂直的證明,考查空間想象能力,邏輯推理能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:CF⊥BB1;
(Ⅱ)求四棱錐A-ECBB1的體積;
(Ⅲ)判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,E是棱CC1上動點(diǎn),F(xiàn)是AB中點(diǎn),AC=BC=2,AA1=4.
(1)求證:CF⊥平面ABB1;
(2)當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時,求證:CF∥平面AEB1;
(3)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A-EB1-B的大小是45°,若存在,求CE
的長,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4,E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn).
(1)判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)求四棱錐A-ECBB1的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是A A1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線AB和C1D所成的角(用反三角函數(shù)表示);
(Ⅱ)若E為AB上一點(diǎn),試確定點(diǎn)E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點(diǎn)D到平面B1C1E的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•莒縣模擬)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分別是棱CCl、AB中點(diǎn).
(I)求證:CF⊥BB1;
(Ⅱ)求四棱錐A-ECBB1的體積;
(Ⅲ)證明:直線CF∥平面AEBl

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