Question

設(shè)直線l：x-y+m=0與拋物線C：y²=4x交于不同兩點A、B，F(xiàn)為拋物線的焦點．
（1）求△ABF的重心G的軌跡方程；
（2）如果m=-2，求△ABF的外接圓的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0），重心G（x，y），
聯(lián)立直線與拋物線，可得，消元可得y²-4y+4m=0
∴△＞0?m＜1且m≠-1（因為A、B、F不共線）
故
∴重心G的軌跡方程為（6分）
（2）m=-2，則y²-4y-8=0，設(shè)AB中點為（x₀，y₀）
∴，∴x₀=y₀-m=2-m=4
∴AB的中垂線方程為x+y-6=0
令△ABF外接圓圓心為C（a，6-a）
又，C到AB的距離為
∴
∴，∴
∴所求的圓的方程為（7分）
分析：（1）設(shè)出A、B、G的坐標，聯(lián)立直線與拋物線，利用重心坐標公式，即可求得重心G的軌跡方程；
（2）確定AB的中垂線方程為x+y-6=0，令△ABF外接圓圓心為C（a，6-a），求出弦AB的長，C到AB的距離，利用|CA|=|CF|，即可求得圓心坐標與半徑，從而可得△ABF的外接圓的方程．
點評：本題考查軌跡方程，考查圓的方程，解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑，屬于中檔題．