Question

設(shè)直線l：x-y+m=0與拋物線C：y²=4x交于不同兩點(diǎn)A、B，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．
（1）求△ABF的重心G的坐標(biāo)；
（2）如果m=-3，求△ABF的外接圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，y₁+y₂，當(dāng)△=（2m-4）²-4m²＞0，由重心坐標(biāo)公式可得，可求G
（2）當(dāng)m=-3時(shí)，由已知得，可求A，B，設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A，B，F(xiàn)的坐標(biāo)代入圓的方程可求
解答：解：（1）由已知得消去y得x²+（2m-4）x+m²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=4-2m，y₁+y₂=4，且F（1，0）
當(dāng)△=（2m-4）²-4m²≤0，即 m≥1時(shí)，不構(gòu)成三角形
當(dāng)△=（2m-4）²-4m²＞0，即m＜1且m≠-1時(shí)，
由重心坐標(biāo)公式可得=，=
∴重心為
（2）當(dāng)m=-3時(shí)，由已知得消去y得x²-10x+9=0，
∴x₁=9，x₂=1
∴A（9，6），B（1，-2），設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則
∴D=-16，E=2，F(xiàn)=15
所以圓的方程為：x²+y²-16x+2y+15=0
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線相交關(guān)系的應(yīng)用，三角形的重心坐標(biāo)公式及利用待定系數(shù)法求解圓的方程，主要體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．