Question

如圖，第（1）個多邊形是由正三角形“擴(kuò)展”而來，第（2）個多邊形是由正四邊形“擴(kuò)展”而來，…如此類推．設(shè)由正n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為a_n，

則數(shù)列{

1

an

}的前n項之和等于

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：觀察所給圖形，得到n形擴(kuò)展后的邊數(shù)為：a_n=n（n+1），從而

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{

1

an

}的前n項之和．

解答： 解：多邊形邊數(shù)與擴(kuò)展后邊數(shù)的關(guān)系為：
三角形擴(kuò)展后的邊數(shù)為：12=3×（3+1），
四邊形擴(kuò)展后的邊數(shù)為：20=4×（4+1），
五邊形擴(kuò)展后的邊數(shù)為：30=5×（5+1），
六邊形擴(kuò)展后的邊數(shù)為：42=6×（6+1），
…
由此得到：n形擴(kuò)展后的邊數(shù)為：a_n=n（n+1），
∴

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{

1

an

}的前n項之和：
S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案為：

n

n+1

．

點評：本題主要考查數(shù)列的前n項和公式的求法，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時要注意裂項求和法的合理運用．