Question

已知向量

OA

=（λsinα，λcosα），

OB

=（cosβ，sinβ），且α+β=

5π

6

，其中O為原點(diǎn)．
（Ⅰ）若λ＜0，求向量

OA

與

OB

的夾角；
（Ⅱ）若λ∈[-2，2]，求|

AB

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得|

OA

|，|

OB

|，

OA

•

OB

，代入夾角公式計(jì)算可得；
（Ⅱ）|

AB

|=|

OB

-

OA

|，代入已知計(jì)算可得關(guān)于λ的函數(shù)式，由二次函數(shù)的知識可得相應(yīng)的最值，可得范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得|

OA

|=

(λsinα)2+(λcosα)2

=-λ，
|

OB

|=

cos2β+sin2β

=1，

OA

•

OB

=λsinαcosβ+λcosαsinβ
=λsin（α+β）=λsin

5π

6

=

1

2

λ，設(shè)向量

OA

與

OB

的夾角為θ，
則cosθ=

1 2 λ

-λ×1

=-

1

2

，又因?yàn)棣取蔥0，π]，
所以向量

OA

與

OB

的夾角θ為

2π

3

；
（Ⅱ）|

AB

|=|

OB

-

OA

|=

(cosβ-λsinα)2+(sinβ-λcosα)2

=

1+λ2-2λ(sinαcosβ+cosαsinβ)

=

1+λ2-2λsin(α+β)

=

1+λ2-λ

=

(λ- 1 2 )2+ 3 4

，由于λ∈[-2，2]，
由二次函數(shù)的知識可知：當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，上式有最小值

3

2

，
當(dāng)λ=-2時(shí)，上式有最大值

7

，
故|

AB

|的取值范圍是[

3

2

，

7

]

點(diǎn)評：本題考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題．