Question

【題目】已知函數(shù)（），，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，的兩個極值點為，（）．

①證明：；

②若，恰為的零點，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)①證明見解析；②．

【解析】

試題分析：(1)對函數(shù)求導，對參數(shù)分類討論，利用導數(shù)的正負求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)①對函數(shù)求導得，得的兩根,即為方程的兩根；利用韋達定理得，，令（），由，得，兩邊同時除以，得，且，求得的取值范圍，從而證得結論；②由，為的零點，代入相減得，故，令（），，求導后利用函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，從而求得所求結果.

試題解析：（1）∵函數(shù)，∴，；

當時，由解得，即當時，，單調(diào)遞增；

由解得，即當時，，單調(diào)遞減；

當時，，故，即在上單調(diào)遞增；

∴當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）①，則，

∴的兩根,即為方程的兩根；

又∵，∴，，

令（），由，得，

因為，兩邊同時除以，得，且，

故，解得或，∴，即．

②∵，為的零點，

∴，，

兩式相減得，

∵，

∴，

令（），，

則，在上是減函數(shù)，

∴，

即的最小值為．