Question

3．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，CA=CC₁=2CB，則直線BC₁與直線AB₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 以C₁為原點(diǎn)，C₁B₁為x軸，C₁A₁為y軸，C₁C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BC₁與直線AB₁所成角的余弦值．

解答 解：如圖，∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，CA=CC₁=2CB，
∴以C₁為原點(diǎn)，C₁B₁為x軸，C₁A₁為y軸，C₁C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CA=2，則B（1，0，2），C₁（0，0，0），A（0，2，2），B₁（1，0，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，-2，-2），
設(shè)直線BC₁與直線AB₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{A{B}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．