Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[

1

e

，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），試寫出一個符合要求的F（x）（無需過程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)f（x）在[1，3]上的單調(diào)性，然后可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）欲存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，只需a小于或等于2lnx+x+

3

x

的最大值，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)2lnx+x+

3

x

在[

1

e

，e]上的最大值即可求出實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）欲使F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），先尋找以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)含xlnx因子的函數(shù)，然后再進行調(diào)整即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，
又∵f（1）=ln1=0，
∴函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值為0；
（Ⅱ）由題意知，2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+

3

x

．
若存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+

3

x

的最大值．
設(shè)h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，則h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．
當(dāng)x∈[

1

e

，1)時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，e]時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
由h(

1

e

)=-2+

1

e

+3e，h(e)=2+e+

3

e

，h(

1

e

)-h(e)=2e-

2

e

-4＞0，
可得h(

1

e

)＞h(e)，
∴當(dāng)x∈[

1

e

，e]時，h（x）的最大值為h(

1

e

)=-2+

1

e

+3e．
故a≤-2+

1

e

+3e．                            
（Ⅲ）F(x)=

x2

2

lnx-

x2

4

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的增減，同時要注意單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，即先要求出函數(shù)的定義域．同時考查了函數(shù)的恒成立問題，對于恒成立，一般選用參變量分離法、最值法進行解決．屬于中檔題．