Question

8．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)是線段B₁D上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

• A． AC⊥BF
• B． 直線AE、BF所成的角為定值
• C． EF∥平面ABC
• D． 三棱錐A-BEF的體積為定值

Answer 1

分析 通過(guò)直線AC垂直平面平面BB₁D₁D，判斷A是正確的；通過(guò)直線EF垂直于直線AB₁，AD₁，判斷A₁C⊥平面AEF是正確的；計(jì)算三角形BEF 的面積和A到平面BEF的距離是定值，說(shuō)明C是正確的；只需找出兩個(gè)特殊位置，即可判斷D是不正確的；綜合可得答案．

解答 解：∵在正方體中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B₁D₁DB，又BE?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BE，故A正確；
∵當(dāng)點(diǎn)E在D₁處，F(xiàn)為D₁B₁的中點(diǎn)時(shí)，異面直線AE，BF所成的角是∠OEB，當(dāng)E在上底面的中心時(shí)，F(xiàn)在C₁的位置，異面直線AE，BF所成的角是∠OE₁B，顯然兩個(gè)角不相等，B不正確；
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，EF?平面A₁B₁C₁D₁，∴EF∥平面ABCD，故C正確；
∵由于點(diǎn)B到直線B₁D₁的距離不變，故△BEF的面積為定值．又點(diǎn)A到平面BEF的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故V_A-BEF為定值．D正確；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，異面直線及其所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．