Question

17．在等腰△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD長為6，則當△ABC的面積取得最大值時，AB的長為4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=AC=2x，三角形的頂角θ，則由余弦定理求得cosθ的表達式，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得sinθ，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達式，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值．

解答 解：在等腰△ABC中，設(shè)AB=AC=2x，AD=x．
設(shè)三角形的頂角為θ，則由余弦定理得cosθ=$\frac{5{x}^{2}-36}{4{x}^{2}}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{-9（{x}^{2}-20）^{2}+6{0}^{2}-3{6}^{2}}}{4{x}^{2}}$，
 由公式三角形：
S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}•2x•2x•$$\frac{\sqrt{-9（{x}^{2}-20）^{2}+6{0}^{2}-3{6}^{2}}}{4{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{-9（{x}^{2}-20）^{2}+6{0}^{2}-3{6}^{2}}$得：
當 x²=20時，三角形面積有最大值，即AB=2x=4$\sqrt{5}$時三角形面積有最大值．
所以答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了三角形的面積最值問題，設(shè)變量，用變量表達面積是關(guān)鍵，屬于中檔題．