Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為

3

，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：mx+ny=0（m，n∈R）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△AFB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為

3

，可得a．由離心率為

6

3

，可得

c

a

=

6

3

，解得c．再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：n=0，直線l與y軸重合，直接得出S_△AFB=

1

2

×2b×c=bc．當(dāng)n≠0，m≠0時(shí)，聯(lián)立

mx+ny=0 x2+3y2=3

，可得|AB|=2

x2+y2

，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)F（

2

，0）到直線l的距離d，利用S_△AFB=

1

2

|AB|•d和函數(shù)的單調(diào)性及不等式的性質(zhì)可得．經(jīng)比較即可得出．

解答：解：（1）∵短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為

3

，∴a=

3

，
∵離心率為

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，解得c=

2

，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），①n=0，直線l與y軸重合．
此時(shí)S_△AFB=

1

2

×2b×c=bc=

2

．
②n≠0，m≠0時(shí)，聯(lián)立

mx+ny=0 x2+3y2=3

，解得

x2= 3n2 1+3m2 y2= 3m2 1+3m2

，
∴|AB|=2

x2+y2

=

3n2+3m2 1+3m2

，
點(diǎn)F（

2

，0）到直線l的距離d=

| 2 m|

m2+n2

，
∴S_△AFB=

1

2

|AB|•d=

6 |m|

1+3m2

=

6

1 m2 +3

＜

6

3

=

2

．
綜上①②可知：直線l與y軸重合，△AFB面積取得最大值

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組的解、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．