Question

已知{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，{b_n} 是等比數(shù)列，其中a₁=2，b₁=1，a₂=b₂，2a₄=b₃，且存在常數(shù)α、β，使得a_n=log_αb_n+β對每一個(gè)正整數(shù)n都成立，則α^β=________．

Answer 1

4
分析：首先利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)以及已知條件求出q=2+d，進(jìn)而根據(jù)2a₄=b₃，求出d、和q的值，即可求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)a_n=log_αb_n+β得出2n=log_α4^n-1+β=（n-1）log_α4+β，令n=1求出β=2，令n=2求出α=2，即可求出結(jié)果．
解答：a₂=a₁+d=2+d b₂=1×q=q
∵a₂=b₂
∴q=2+d a₄=a₁+3d=2+3d b₃=1×q²=q²
∵2a₄=b₃∴2×（2+3d）=q²=（2+d）² 即 d²-2d=0
∵公差不為0
∴d=2∴q=4∴
a_n=a₁+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n
b_n=a₁q^n-1=4^n-1∵a_n=log_αb_n+β
∴2n=log_α4^n-1+β=（n-1）log_α4+β ①
∵①式對每一個(gè)正整數(shù)n都成立
∴n=1時(shí)，得β=2 n=2時(shí)，得logα4+2=4，得α=2
∴α^β=2²=4
點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)條件求出d、和q的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．