Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的上頂點為A（0，3），左、右焦點分別為B、C，離心率為．
（1）試求橢圓的標準方程；
（2）若直線PC的傾斜角為α，直線PB的傾斜角為β，當β-α=時，求證：①點P一定在經(jīng)過A，B，C三點的圓M上；②PA=PB+PC．

Answer 1

解：（1）因為b=3，=，b²+c²=a²，
解得a²=12，b²=9，c²=3，所以橢圓的標準方程為+=1．
（2）①因為B（-，0），C（，0），A（0，3），所以△ABC為等邊三角形．
經(jīng)過A，B，C三點的圓M的方程為x²+（y-1）²=4，即x²+y²-2y=3．
設點P（x，y），則k_PC=tanα=，k_PB=tanβ=．
因為β-α=，所以tan（β-α）=-．因為tan（β-α）==，
所以=-．化簡得x²+y²-2y=3．
所以點P一定在經(jīng)過A，B，C三點的圓M上．
②PA²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，因為x²+y²=3+2y，所以PA²=12-4y．
PB²=（x-）²+y²=2y+6-2x，PC²=（x+）²+y²=2y+6+2x，
2PB×PC=2=4，因為3x²=9-3y²+6y，
所以2PB×PC=4，由于y＜0，所以2PB×PC=-8y，
從而（PB+PC）²=PB²+2PB×PC+PC²=4y+12-8y=12-4y=PA²．
所以PA=PB+PC．
分析：（1）由b=3，=，b²+c²=a²能夠推導出橢圓的標準方程．
（2）①由題設條件知△ABC為等邊三角形．由此能夠推導出點P一定在經(jīng)過A，B，C三點的圓M上．
②PA²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，PB²=（x-）²+y²=2y+6-2x，PC²=（x+）²+y²=2y+6+2x，由此能夠推導出PA=PB+PC．
點評：本題考查橢圓知識的綜合運用，解題要注意公式的靈活運用．