Question

1．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)M為側(cè)棱PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA⊥PC，求證：PA⊥平面BDM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接MO，推導(dǎo)出MO∥PC，由此能證明PC∥平面BDM．
（Ⅱ）連接PO，推導(dǎo)出PO⊥BD，BD⊥AC，從而B(niǎo)D⊥平面PAC，進(jìn)而B(niǎo)D⊥PA，再推導(dǎo)出MO⊥PA，由此能證明PA⊥平面BDM．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，
連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接MO．（1分）
因?yàn)锳BCD為正方形，則O為AC中點(diǎn)．
又因?yàn)镸為側(cè)棱PA的中點(diǎn)，所以MO∥PC．（3分）
又因?yàn)镻C?面BDM，MO?面BDM，
所以PC∥平面BDM．（5分）
（Ⅱ）連接PO，在正四棱錐P-ABCD中，
PO⊥平面ABCD，（6分）
BD?平面ABCD，所以PO⊥BD．（7分）
又因?yàn)锽D⊥AC，（8分）
AC∩PO=O，且AC?平面PAC，PO?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，（9分）
又因?yàn)镻A?平面PAC，所以BD⊥PA．（10分）
由（Ⅰ）得MO∥PC，又因?yàn)镻A⊥PC，則MO⊥PA．（11分）
又MO∩BD=O，且MO?平面BDM，BD?平面BDM，
所以PA⊥平面BDM．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行與線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．