Question

12．設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數n，點（a_n+1，S_n）都在直線2x+y-2=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=na_n²，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{16}{9}$．

Answer 1

分析 （1）（a_n+1，S_n）都在直線2x+y-2=0上．可得2a_n+1+S_n-2=0，利用遞推關系可得：a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$．再利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=na_n²=$n•（\frac{1}{4}）^{n-1}$．再利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 （1）解：（a_n+1，S_n）都在直線2x+y-2=0上．
∴2a_n+1+S_n-2=0，
∴n≥2時，2a_n+S_n-1-2=0，可得：2a_n+1-2a_n+a_n=0，∴a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$．
∴數列{a_n}是等比數列，公比為$\frac{1}{2}$，首項為1．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）證明：b_n=na_n²=$n•（\frac{1}{4}）^{n-1}$．
∴數列{b_n}的前n項和為T_n=1+$2×\frac{1}{4}$+$3×（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$n•（\frac{1}{4}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{4}+2×（\frac{1}{4}）^{2}$+…+（n-1）×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$+n$•（\frac{1}{4}）^{n}$，
∴$\frac{3}{4}{T}_{n}$=$1+\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n-1}$-n$•（\frac{1}{4}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n}}{1-\frac{1}{4}}$-n$•（\frac{1}{4}）^{n}$，
∴T_n=$\frac{16}{9}$-$\frac{4+3n}{3×{4}^{n}}$＜$\frac{16}{9}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、“錯位相減法”、等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．