Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+x²，且x₀是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．給出以下幾個(gè)問題：
①0＜x₀＜

1

e

；
②x₀＞

1

e

；
③f（x₀）+x₀＜0；
④f（x₀）+x₀＞0
其中正確的命題是

 

．（填出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，可判斷①②；f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+x₀²+x₀=x₀（lnx₀+x₀+1）=-x₀＜0，可判斷③④．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=xlnx+x²，（x＞0）
∴f′（x）=lnx+1+2x，
∴f′（

1

e

）=

2

e

＞0，
∵x→0，f′（x）→-∞，
∴0＜x₀＜

1

e

，即①正確，②不正確；
∵lnx₀+1+2x₀=0
∴f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+x₀²+x₀=x₀（lnx₀+x₀+1）=-x₀＜0，即③正確，④不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．