(2011•惠州模擬)數(shù)列bn+1=
1
2
bn+
1
4
,且b1=
7
2
Tn為{bn}
的前n項(xiàng)和.
(1)求證:數(shù)列{bn-
1
2
}
是等比數(shù)列,并求{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)如果{bn}對任意n∈N*,不等式
12k
(12+n-2Tn)
≥2n-7
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)對數(shù)列遞推式進(jìn)行變形,即可證明數(shù)列{bn-
1
2
}
是等比數(shù)列,從而可求其通項(xiàng),進(jìn)而可求{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)先求出數(shù)列的和,再利用分離參數(shù)法,證明數(shù)列的單調(diào)性,即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答:(1)證明:對任意n∈N*,都有bn+1=
1
2
bn+
1
4
,所以bn+1-
1
2
=
1
2
(bn-
1
2
)
…(1分)
則數(shù)列{bn-
1
2
}
成等比數(shù)列,首項(xiàng)為b1-
1
2
=3
,公比為
1
2
…(2分)
所以bn-
1
2
=3×(
1
2
)
n-1
,
bn=3×(
1
2
)
n-1
+
1
2
…(4分)
(2)解:因?yàn)?span id="4t34vzr" class="MathJye">bn=3×(
1
2
)
n-1
+
1
2

所以Tn=3×
1-
1
2n
1-
1
2
+
n
2
=6(1-
1
2n
)+
n
2
…(6分)
因?yàn)椴坏仁?span id="hde4fuo" class="MathJye">
12k
(12+n-2Tn)
≥2n-7,化簡得k≥
2n-7
2n
對任意n∈N*恒成立…(7分)
設(shè)cn=
2n-7
2n
,則cn+1-cn=
9-2n
2n+1
…(9分)
當(dāng)n≥5,cn+1≤cn,{cn}為單調(diào)遞減數(shù)列,當(dāng)1≤n<5,cn+1>cn,{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列
c4=
1
16
c5=
3
32
,∴c4<c5,∴n=5時(shí),cn取得最大值
3
32
…(11分)
所以,要使k≥
2n-7
2n
對任意n∈N*恒成立,k≥
3
32
…(12分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的遞推式,考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列,考查恒成立問題,解題的關(guān)鍵是分離常數(shù),確定數(shù)列的最值.
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π
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