Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）試說明是否存在實數(shù)a（a≥1）使y=f（x）的圖象與y=

5

8

+ln2無公共點．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再把a=1代入求出其導函數(shù)以及單調區(qū)間，即可求出函數(shù)f（x）的最值；
（2）先求出函數(shù)的導函數(shù)，再利用分類討論思想討論導函數(shù)對應方程根的大小，進而求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）先由（2）得f（x）在（1，+∞）的最小值為f(

a+2

2

)=-

a2

4

+1-aln

a

2

，再求出g(a)=f(

a+2

2

)在[1，+∞）上的最大值，讓其與y=

5

8

+ln2的值相比較即可求得結論．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）
當a=1時，f′(x)=2x-1-

1

x-1

=

2x(x- 3 2 )

x-1

，所以f（x）在(1，

3

2

)為減函數(shù)
在(

3

2

，+∞)為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的最小值為f(

3

2

)=

3

4

+ln2．
（2）f′(x)=2x-a-

a

x-1

=

2x(x- a+2 2 )

x-1

，
若a≤0時，則

a+2

2

≤1，f（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）．
若a＞0，則

a+2

2

＞1，故當x∈(1，

a+2

2

]，f′（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

≤0，
當x∈[

a+2

2

，+∞)時，f（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

≥0，
所以a＞0時f（x）的減區(qū)間為(1，

a+2

2

]，f（x）的增區(qū)間為[

a+2

2

，+∞)

（3）a≥1時，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值為f(

a+2

2

)=-

a2

4

+1-aln

a

2

，
令g(a)=f(

a+2

2

)=-

a2

4

+1-aln

a

2

在[1，+∞）上單調遞減，
所以g(a)max=g(1)=

3

4

+ln2，則g(a)max-(

5

8

+ln2)=

1

8

＞0，
因此存在實數(shù)a（a≥1）使f（x）的最小值大于

5

8

+ln2，
故存在實數(shù)a（a≥1）使y=f（x）的圖象與y=

5

8

+ln2無公共點

點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值的應用．求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．