Question

20．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)F作AF的垂線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的垂線交x軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)D到直線BC的距離小于a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，則$\frac{a}$的取值范圍為（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由雙曲線的對(duì)稱性知D在x軸上，設(shè)D（x，0），則由BD⊥AB得$\frac{^{2}}{\frac{a}{c-x}}$•$\frac{^{2}}{\frac{a}{c-x}}$=-1，求出c-x，利用D到直線BC的距離小于a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，A（a，0），B（c，$\frac{^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），由雙曲線的對(duì)稱性知D在x軸上，
設(shè)D（x，0），則由BD⊥AB得$\frac{^{2}}{\frac{a}{c-x}}$•$\frac{^{2}}{\frac{a}{c-x}}$=-1，
∴c-x=$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$，
∵D到直線BC的距離小于a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴c-x=|$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$|＜a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$＜c²-a²=b²，
∴0＜$\frac{a}$＜1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定D到直線BC的距離是關(guān)鍵．