Question

【題目】已知⊙C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，直線L：y=kx+1與⊙C相交于P，Q點(diǎn)．
（1）求⊙C的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線L1⊥L，且L1交⊙C于M，N，求四邊形PMQN的面積最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．

因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，

所以 = =r

解得a=0，r=2，

所以圓C的方程是x2+y2=4

（2）解：設(shè)圓心O到直線l，l1的距離分別為d，d1，四邊形PMQN的面積為S．

因?yàn)橹本�l，l1都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且l⊥l1，根據(jù)勾股定理，有d12+d2=1

又根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2 ，|MN|=2

∴S= ×2 ×2 =2 ≤2 =7

當(dāng)且僅當(dāng)d1=d時(shí)，等號(hào)成立，所以S的最大值為7

【解析】（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，從而可求圓C的方程；（2）設(shè)圓心O到直線l，l1的距離分別為d，d1 ， 求得d12+d2=1，根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2 ，|MN|=2 ，再利用基本不等式，可求四邊形PMQN面積的最大值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．