Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（Ⅱ）已知x₁=2且f（x_n+1）=g（x_n），證明：
（i）x_n＞x_n+1＞1
（ii）x₁+x₂+…+x_n≥n+2-2^1-n．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）由題意h′（x）=lnx，令h′（x）=0，得x=1，由此能求出h（x）的極小值．
（Ⅱ）先利用數(shù)學歸納法證明證x_n＞1，再利用作差法證明x_n＞x_n+1，由此能證明x_n＞x_n+1＞1．
（ii）設F（x）=

xlnx

x-1

，（1＜x＜2），則F′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

，令G（x）=x-1-lnx，（1＜x＜2），由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明x₁+x₂+…+x_n≥n+2-2^1-n．

解答： （Ⅰ）解：由題意得h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x+1，
則h′（x）=lnx，
令h′（x）=0，得x=1，
令h′（x）＞0，得x＞1，h′（x）＜0得0＜x＜1，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴h（x）的極小值為h（1）=0．
（Ⅱ）（i）證明：先證x_n＞1，當n=1時，x₁=2＞1，
設n=k時，x_k＞1，則當n=k+1時，
f（x_k+1）=g（x_k），即x_k+1lnx_k+1=x_k-1，
由x_k＞1，得x_k+1lnx_k+1=x_k-1＞0，
則lnx_k+1＞0，得x_k+1＞1，
故證得x_n＞1．
再證x_n＞x_n+1，
∵x_n-x_n+1=（x_n-1）-（x_n+1-1）=g（x_n）-g（x_n+1）
=f（x_n+1）-g（x_n+1）=h（x_n+1），
由x_n+1＞1及h（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x_n+1）＞h（1）=0，故x_n-x_n+1＞0，
證得x_n＞x_n+1，
∴x_n＞x_n+1＞1．
（ii）證明：設F（x）=

xlnx

x-1

，（1＜x＜2），
則F′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

，令G（x）=x-1-lnx，（1＜x＜2），
則G′(x)=

x-1

x

＞0，
∴G（x）＞G（1）=0，∴F′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

＞0，
F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
得F（x）＜F（2）=2ln2＜2，
∴

xn-1

xn+1-1

=

xn+1lnxn+1

xn+1-1

=F(xn+1)，
又1＜x_n+1＜x₁=2，
∴F（x_n+1）＜2，則

xn-1

xn+1-1

＜2，
則

xn+1-1

xn-1

＞

1

2

，
∴xn-1=

xn-1

xn+1-1

×

xn-1-1

xn-2-1

×…×

x2-1

x1-1

•(x1-1)≥(

1

2

)n-1=

1

2n-1

，
則x₁+x₂+…+x_n-n≥

1

20

+

1

2

+…+

1

2n-1

=2-2^1-n，
∴x₁+x₂+…+x_n≥n+2-2^1-n．

點評：本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．