【題目】某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品,每件產(chǎn)品合格的概率均為,現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù),要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn),已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品,且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次,所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多,該工廠提出以下檢驗(yàn)方案:將產(chǎn)品每個(gè)()一組進(jìn)行分組檢驗(yàn),如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格,則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗(yàn)不合格,則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn),如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)一次或次.設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品,記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為

1的分布列及其期望;

2)(i)試說明,當(dāng)越大時(shí),該方案越合理,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少;

ii)當(dāng)時(shí),求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).

【答案】1)分布列詳見解析,期望;(2)(i)詳見解析;(ii時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約次.

【解析】

1)根據(jù)每個(gè)()一組進(jìn)行分組檢驗(yàn),如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格,則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗(yàn)不合格,則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn),如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)一次或次,每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)的可能取值為,,再利用獨(dú)立事件和互斥事件求得概率列出分布列,再求期望

2)(i)由(1)知,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到上單調(diào)遞減,從而得到結(jié)論. ii)由(1)記,則由且取最小值時(shí),該方案最合理求解.

1)由題意,的可能取值為,

,,

的分布列為

2)(i)由(1),記,

因?yàn)?/span>.所以上單調(diào)遞減,

越大,越小,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少,該方案越合理.

ii)記,當(dāng)且取最小值時(shí),該方案最合理,

因?yàn)?/span>,,

所以時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約次.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】劉徽(約公元225—295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一.他在割圓術(shù)中提出的割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形(如圖所示),當(dāng)變得很大時(shí),這個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想,估計(jì)的值為(

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù),f(x)的導(dǎo)函數(shù).

1)證明:當(dāng)x0時(shí),f(x)0;

2)證明:()上有且只有3個(gè)零點(diǎn).

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為t為參數(shù)),,點(diǎn)A為直線與曲線C在第二象限的交點(diǎn),過O點(diǎn)的直線與直線互相垂直,點(diǎn)B為直線與曲線C在第三象限的交點(diǎn).

1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線的普通方程;

2)若,求的面積.

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【題目】如圖,在郊野公園的景觀河的兩岸,、是夾角為120°的兩條岸邊步道(長(zhǎng)度均超過千米),為方便市民觀光游覽,現(xiàn)準(zhǔn)備在河道拐角處的另一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái),在兩條步道、上分別設(shè)立游客上下點(diǎn),從、到觀景臺(tái)建造兩條游船觀光線路、,測(cè)得千米.

1)求游客上下點(diǎn)、間的距離;

2)若,設(shè),求兩條觀光線路之和關(guān)于的表達(dá)式,并求其最大值.

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【題目】為了提高生產(chǎn)線的運(yùn)行效率,工廠對(duì)生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造.為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果,采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度(單位:天)數(shù)據(jù),并繪制了如莖葉圖:

1)(i)設(shè)所采集的40個(gè)連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間的中位數(shù)m,并將連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間超過m和不超過m的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過

不超過

改造前

改造后

ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異?

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

2)工廠的生產(chǎn)線的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù),工廠對(duì)生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)、保障維護(hù)費(fèi)兩種.對(duì)生產(chǎn)線設(shè)定維護(hù)周期為T天(即從開工運(yùn)行到第kT進(jìn)行維護(hù).生產(chǎn)線在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期,每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立.在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi),若生產(chǎn)線能連續(xù)運(yùn)行,則不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi);若生產(chǎn)線不能連續(xù)運(yùn)行,則產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi).經(jīng)測(cè)算,正常維護(hù)費(fèi)為0.5萬元/次;保障維護(hù)費(fèi)第一次為0.2萬元/周期,此后每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個(gè)生產(chǎn)周期(以120天計(jì))內(nèi)的維護(hù)方案:,.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的頻率作為概率,求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的分布列.

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(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并加以證明

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A.B.C.D.

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