Question

如圖，△ABC為一個(gè)等腰三角形形狀的空地，腰CA的長(zhǎng)為3（百米），底AB的長(zhǎng)為4（百米）．現(xiàn)決定在空地內(nèi)筑一條筆直的小路EF（寬度不計(jì)），將該空地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形的周長(zhǎng)相等、面積分別為S₁和S₂．
（1）若小路一端E為AC的中點(diǎn)，求此時(shí)小路的長(zhǎng)度；
（2）求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知F不在BC上，根據(jù)余弦定理求出cosA的值，然后根據(jù)余弦定理求出EF的長(zhǎng)即可；
（2）若E、F分別在A(yíng)C和AB上，設(shè)AE=x，AF=y，然后利用三角形的面積公式求出S₂和S₁=S_三角形ABC-S₂=，再根據(jù)基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分別在A(yíng)C和BC上，設(shè)CE=x，CF=y，同上根據(jù)基本不等式求出比值的最值即可．

解答：解：（1）因?yàn)椋篈E=CE=

3

2

  AE+4＞CE+3   所以F不在BC上，
AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF
所以AE=CE  AF=CB+BF  4-BF=BF+3  BF=

1

2

cosA=

AC2+AB2-BC2

2AC×AB

=

2

3

所以EF²=AE²+AF²-2AE×AF×cosA=

15

2

所以EF=

30

2

E為AC中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)小路的長(zhǎng)度為

30

2

（2）若E、F分別在A(yíng)C和AB上，
sinA=

5

3

設(shè)AE=x，AF=y，
所以S₂=

1

2

xysinA=

5 xy

6

 
S₁=S_三角形ABC-S₂=2

5

-S₂
因?yàn)閤+y=3-x+4-y+3
所以x+y=5

S1

S2

=

2 5 -S2

5 xy 6

≥

48

25

-1
xy≤(

x+y

2

)2 =

25

4

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

5

2

時(shí)取等號(hào)
所以

S1

S2

=

23

25

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

5

2

時(shí)取等號(hào)
最小值是

23

25

若E、F分別在A(yíng)C和BC上，

c

sinC

=

a

sinA

   sinC=

4 5

9

設(shè)CE=x，CF=y
同上可得

S1

S2

≥

11

25

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

5

2

取等號(hào)
若E、F分別在A(yíng)C和BC上，最小值是

11

25

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值問(wèn)題，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題．