Question

如圖，△ABC為一個(gè)等腰三角形的空地，底邊AB長(zhǎng)為4（百米），腰長(zhǎng)為3（百米），現(xiàn)決定在空地上修一條筆直的小路EF（寬度不計(jì)），將該空地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形周長(zhǎng)相等，面積分別為S₁和S₂，
（1）若小路一端E為AC中點(diǎn)，求小路的長(zhǎng)度；
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）小路一端E為AC中點(diǎn)，則F在BC，利用四邊形和三角形周長(zhǎng)相等．求出CF，然后求出cosC，利用余弦定理求小路EF的長(zhǎng)度；
（2）若E、F在兩腰上，設(shè)CE=x，CF=y，表示出的表達(dá)式，通過(guò)基本不等式求出最小值．
若點(diǎn)E、F在一腰和底上，設(shè)E在CA上，F(xiàn)在AB上，設(shè)AE=x，AF=y，表示出的表達(dá)式，通過(guò)基本不等式求出最小值．
解答：解：（1）易知F在BC上，則AB+BF+FE+AE=EC+EF+CF，∵E為AC中點(diǎn)，∴AE=EC，
BF=4-CF，上式化為BF=，即CF=，，
根據(jù)余弦定理，EF²=CF²+CE²-2CF•CEcosC==，
∴EF=
（2）若E、F在兩腰上，設(shè)CE=x，CF=y，
∴x+y=5，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)
若點(diǎn)E、F在一腰和底上，設(shè)E在CA上，F(xiàn)在AB上，設(shè)AE=x，AF=y，
∴x+y=5，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)
所以最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角形的解法，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．