Question

如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點，AE=3，
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）已知二面角D-BC-E的平面角的正切值為

5

5

，求BE與平面ABCD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中AE垂直于圓O所在平面，CD在圓O所在平面上，我們易得AE⊥CD，CD⊥AD，根據(jù)線面垂直的判定定理，易得CD⊥平面ADE，由面面平行的判定定理可得，平面ABCD⊥平面ADE．
（2）由已知中二面角D-BC-E的平面角的正切值為

5

5

，以D為坐標(biāo)原點，分別以ED、CD所在的直線為x軸、y軸建立空間坐標(biāo)系，利用向量法，易求出BE與平面ABCD所成的角的余弦值．

解答：解：（1）證明：∵AE垂直于圓O所在平面，CD在圓O所在平面上，
∴AE⊥CD．在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADE．∴平面ABCD⊥平面ADE．（6分）
（2）以D為坐標(biāo)原點，分別以ED、CD所在的直線為x軸、y軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），E（-6，0，0），C(0，-3

5

，0)，A（-6，0，3），B(-6，-3

5

，3)．（8分）
設(shè)平面ABCD的法向量為n₁=（1，0，2）向量．（9分）
設(shè)平面BCE的法向量為n2=(

5

，2，2

5

)（10分）
∴sin（

n1

，

n2

）=

2

29

．
∴cos（

n1

，

n2

）=

5

29

（13分）
故二面角D-BC-E的平面角的正切值為

5

29

．（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，用空間向量來解決二面角問題，其步驟是：建立空間直角坐標(biāo)系?明確相關(guān)點的坐標(biāo)?明確相關(guān)向量的坐標(biāo)?通過空間向量的坐標(biāo)運算求解．