Question

已知點列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)（n∈N） 順次為一次函數圖象上的點， 點列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)（n∈N） 順次為x軸正半軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1）， 對于任意n∈N，點A_n、B_n、A_n+1構成以 B_n為頂點的等腰三角形.
⑴求{y_n}的通項公式，且證明{y_n}是等差數列；
⑵試判斷x_n+2-x_n是否為同一常數（不必證明），并求出數列{x_n}的通項公式；
⑶在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在， 請說明理由.

Answer 1

（1）(nÎN)；（2）x_n= 
（3）存在直角三形，此時a的值為、、.

（I）因為(nÎN),易根據等差數列的定義判斷出{y_n}為等差數列.
（II）解本小題的關鍵是先根據x_n+1-x_n=2為常數,可確定的奇數項和偶數項分別成等差數列，從而求出.
(III) 要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()，
當n為奇數時，x_n+1-x_n=2(1-a)；當n為偶數時，x_n+1-x_n=2a.然后分別研究即可.
（1）(nÎN),y_n+1-y_n=,∴{y_n}為等差數列 (4¢)
（2）x_n+1-x_n=2為常數 (6¢) ∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x_6,,…，x_2n都是公差為2的等差數列，
∴x_2n-1=x₁+2(n-1)=2n-2+a，x_2n=x₂+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴x_n= 
（3）要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()
當n為奇數時，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數，0＜a＜1)  (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； (14¢)
當偶數時，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.
∴2a=2()Þa=(n為偶數，0＜a＜1)  (*¢)，取n=2，得a=,
若n≥4，則(*¢)無解.
綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、. (18¢)