Question

若直線xcosθ+ysinθ-1=0與圓(x-1)2+(y-sinθ)2=

1

16

相切，且θ為銳角，則這條直線的斜率是（　　）

• A、-

  3

  3

• B、-

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，讓d等于半徑1，得到關(guān)于cosθ的方程，求出方程的解即可得到cosθ的值，然后根據(jù)θ為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出θ的值，然后把θ代入-

cosθ

sinθ

中即可求出直線的斜率．

解答：解：根據(jù)圓的方程(x-1)2+(y-sinθ)2=

1

16

，得到圓心坐標(biāo)（1，sinθ），半徑r=

1

4

，
因?yàn)橹本�與圓相切，所以圓心到直線的距離d=

|cosθ+sin2θ-1|

cos2θ+sin2θ

=r=

1

4

化簡得：-cosθ+cos²θ=

1

4

，即（2cosθ-1）²=0，解得：cosθ=

1

2

，
由θ為銳角，得到θ=

π

3

，則直線的斜率k=-

cosθ

sinθ

=-cotθ=-cot

π

3

=-tan

π

6

=-

3

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，掌握根據(jù)直線方程求直線斜率的方法，是一道綜合題．