【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a（a∈R，a為常數(shù)）． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[﹣ ， ]上的最大值與最小值之和為 ，求實(shí)數(shù)a的值．

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a =sinxcos +cosxsin +sinxcos ﹣cosxsin +cosx+a
= sinx+cosx+a=2（ sinx+ cosx）+a=2sin（x+ ）+a，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]，∴﹣ ≤x+ ≤ ，
∴當(dāng)x+ =﹣ ，即x=﹣ 時，f（x）的最小值=f（﹣ ）=﹣ +a，
當(dāng)x+ = ，即x= 時，f（x）的最大值=f（ ）=2+a，
由題意，有（﹣ +a）+（2+a）= ，
∴a= ﹣1．
【解析】（Ⅰ）把f（x）的解析式先利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并后再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最大值及最小值，讓其和等于 列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【考點(diǎn)精析】掌握三角函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，則，，．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[2019·龍泉驛區(qū)一中]交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時，實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，且保費(fèi)與上一年車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如下表：

交強(qiáng)險浮動因素和費(fèi)率浮動比率表

浮動因素

浮動比率

上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上三個以及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮

上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了70輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：

類型

數(shù)量

10

13

7

20

14

6

（1）求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率；

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損6000元，一輛非事故車盈利10000元，且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題：

①若該銷售商店內(nèi)有7輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率；

②若該銷售商一次性購進(jìn)70輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)．

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【題目】已知二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次函數(shù)．

當(dāng)，時，求方程的實(shí)根；

設(shè)b和c都是整數(shù)，若有四個不同的實(shí)數(shù)根，并且在數(shù)軸上四個根等距排列，試求二次函數(shù)的解析式，使得其所有項(xiàng)的系數(shù)和最�。�

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【題目】已知f（x）是定義在R上且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1，f（x）=x2 ． 如果函數(shù)g（x）=f（x）﹣（x+m）有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A.2k（k∈Z）
B.2k或2k+ （k∈Z）
C.0
D.2k或2k﹣ （k∈Z）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，且f（α）=1，α∈（0， ），則cos（2α+ ）=（ ）
A.
B.
C.﹣
D.

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【題目】已知函數(shù)f (x)＝ex＋2x2－3x.

(1)求證：函數(shù)f (x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點(diǎn)．

(2)當(dāng)x≥時，若關(guān)于x的不等式f (x)≥ x2＋(a－3)x＋1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】選修4一1：幾何證明選講 如圖，C是以AB為直徑的半圓O上的一點(diǎn)，過C的直線交直線AB于E，交過A點(diǎn)的切線于D，BC∥OD．
（Ⅰ）求證：DE是圓O的切線；
（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）令，可將已知三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成代數(shù)函數(shù)關(guān)系，試寫出函數(shù)的解析式及定義域；

（2）求函數(shù)的最大值；

（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)嗎？若是，請指出其單調(diào)性；若不是，請分別指出其單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間（不需要證明）.

（參考公式：）

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【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)， ，且圓心在直線上.

（1）求圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，問在直線上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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