Question

2．在△ABC中，若A＞B，則下列關系中不一定正確的是③．
①sinA＞sinB②cosA＜cosB③sin2A＞sin2B④cos2A＜cos2B．

Answer 1

分析 ①通過A＞B，利用正弦定理，推出sinA＞sinB．②由A＞B，通過余弦函數(shù)的單調(diào)性可得cosA＜cosB；③由A＞B通過舉反例說明sin2A＞sin2B不正確即可；④由A＞B，通過正弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關系式，以及二倍角的余弦函數(shù)推出cos2A＜cos2B．

解答 解：由①，∵A＞B，則a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①正確；
由②，A＞B，△ABC中，A、B∈（0，π），余弦函數(shù)是減函數(shù)，所以cosA＜cosB，故②正確；
對于③，例如A=60°，B=45°，滿足A＞B，但不滿足sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin2B=1，所以sin2A＞sin2B，③不正確；
對于④，因為在△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB＞0，所以
sin²A＞sin²B，可得 1-2sin²A＜1-2sin²B，由二倍角公式可得：cos2A＜cos2B，故④正確．
故答案為：③．

點評 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，同角三角函數(shù)的基本關系，三角形中有大角對大邊，將命題轉化是解題的關鍵．