Question

如圖所示：四棱錐P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn).
（1）證明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，證明：BE⊥平面PDC；
（3）當(dāng)PA=AD=DC時(shí)，求二面角E-BD-C的正切值.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）

（1）取PD中點(diǎn)Q，連EQ、AQ，則∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，

又∥AQ
又∥平面PAD…3分
（2）PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA，又CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD  ∴AQ⊥CD若PA=AD，
∴Q為PD中點(diǎn)，∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD…………………7分
（3）連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)G，連EG，EG∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD，過(guò)G作GH⊥BD，連EH，則EH⊥BD，
∴∠EHG是二面角E—BD—C的平面角.
設(shè)AB=1，則PA="AD=DC=2AB=2." ∴
又  ∽△ABG，
 ∴BG∥AD，∠GBH=∠ADB，∴△ABD∽△HBG.
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